интеграл, взятый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Различают К. и. 1-го и 2-го типов. К. и. 1-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он обозначается через
,
где
С - заданная кривая,
ds - дифференциал её дуги, a
f (
P)
- функция точки на кривой, и представляет собой предел соответствующих интегральных сумм (см.
Интеграл)
. В случае плоской кривой
С, заданной уравнением
у = у (
х)
, К. и. 1-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:
.
К. и. 2-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о работе силового поля; в случае плоской кривой С он имеет вид:
и является также пределом соответствующих интегральных сумм. К. и. 2-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:
,
где х = x (t), у = у (t) (α ≤ t ≤ β) - уравнения кривой С в параметрической форме, и к К. и. 1-го типа по формуле:
;
здесь α - угол между осью Ox и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания дуги.
Аналогично определяется К. и. 2-го типа в пространстве. О К. и. 2-го типа с векторной точки зрения см.
Векторное исчисление.
Пусть
D - некоторая область и
С - её граница. При некоторых условиях между К. и. по кривой
С и двойным интегралом по области
D (см.
Кратный интеграл)
имеет место соотношение:
Особенно большое значение К. и. приобрели в теории функций комплексного переменного (см.
Аналитические функции)
. К. и. имеют широкое применение в различных областях механики, физики и техники.